Algebra Seminar talk
2004-04-02
Wolfgang Eppenschwandtner
Punktfreie Topologie und Anwendungen
Abstract:
Der Verband der offenen Mengen eines topologischen Raumes ist ein
vollständiger Verband, in dem Durchschnitt mit der (unendlichen)
Vereinigung distribuiert.
In der Punktfreien Topologie fasst man jetzt umgekehrt beliebige solche
Verbände als verallgemeinerte topologische Räume (locales) auf.
Durch diese Erweiterung der Topologie kann man "Räume" ohne Punkte studieren. So ist etwa der Durchschnitt zweier dichter "Unterräume" immer ein dichter "Unterraum", dieser muß aber keine Punkte haben, wie man am Beispiel der rationalen und irrationalen Zahlen als Unterraum der reellen Zahlen sieht.
Eine Anwendung ist z.B. eine konstruktive Version des Satzes von Tychonoff, Das Auswahlaxiom braucht man dann nur noch, um zu zeigen, daß daß das Produkt "genügend Punkte" hat, um ein topologischer Raum im klassischen Sinne zu sein.