Algebra Seminar talk
2025-06-27
Robin Sypniewski
Topologische Galoistheorie
Abstract:
Setzt man einen holomorphen Funktionskeim entlang eines geschlossenen Wegs analytisch fort, so erhält man i.A. einen anderen Keim. Diese Zuordnung kann als Gruppenaktion der Fundamentalgruppe verstanden werden. Die Struktur der Gruppenaktion lässt Rückschlüsse über das Fortsetzungsverhalten des Keims treffen: Man zeigt, dass arithmetische Operationen und Verkettung von Keimen mit “einfachen” Gruppenaktionen wieder einen Keim mit “einfacher” Gruppenaktion gibt (wobei wir das Konzept “einfach” im Vortrag diskutieren).
Die Theorie gibt mit obiger Begriffbildung folgendes Negativresultat: Wenn ein Funktionskeim eine “komplizierte” Gruppenaktion vorweist, so kann man ihn nicht durch arithmetische Operationen und Verkettung von “einfachen” Funktionskeimen darstellen.
Als Beispiel betrachten wir ein Polynom, dessen Koeffizienten holomorphe Funktionen f_j(z) sind, und die Funktion y, die zu jedem z eine Nullstelle y(z) des Polynoms angibt. Über die Gruppenaktion von y lässt sich dann Aussagen, ob sich y durch “einfache” Funktionen darstellen lässt. Wir stellen eine Beziehung zwischen der Gruppenaktion von y und der Galoisgruppe des Polynoms her.