Algebra Seminar talk
2025-12-12
Simon Kusmitsch
Der Satz von Lüroth und seine Bedeutung in der Algebraischen Geometrie
Abstract:
Der Satz von Lüroth besagt, dass für einen Körper K und ein über K transzendentes x jeder echte Zwischenkörper K < L <= K(x) selbst eine einfache transzendente Erweiterung von K ist. Dieser Satz findet aber auch in der algebraischen Geometrie Anwendung: Ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten ist in diesem Gebiet der Begriff der birationalen Äquivalenz. Eine spezielle Klasse bilden hierbei wiederum die rationalen Varietäten, die birational zum affinen Raum A^k sind. Mithilfe des Satzes von Lüroth zeigen wir, dass eine eindimensionale Varietät V, die eine explizite, fast überall surjektive Parametrisierung von A^1 nach V besitzt, bereits rational ist.