\documentclass[12pt]
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\theoremstyle{remark}
\def\zz#1 {\newtheorem{#1}[thm]{#1}}
\newtheorem{thm}{Theorem}
\renewcommand{\thethm}{}
\zz Satz
\zz Definition
\zz {Satz von Cantor}
\zz {Satz von Cantor, schwache Form}
\zz {Satz von Cantor, starke Version}

\zz Beispiel

 
\renewcommand{\P}{{\mathscr P}}
\newcommand{\B}{{\mathscr B}}
\newcommand{\N}{{\Bbb N}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\C}{{\Bbb C}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\newcommand{\E}{{\mathscr E}}
\renewcommand{\c}{{\mathfrak c}}

\author{Martin Goldstern}
\title{Mengenlehre: Hierarchie der Unendlichkeiten}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

% \section*{Was ist Mengenlehre ?}

Mengenlehre ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik.   Wie die
Logik überhaupt spielt die Mengenlehre mehrere Rollen:  Man kann sie
als philosophisches {\em "`Fundament"' der Mathematik} auf\null fassen,
man kann
die Sprache der Mengenlehre als {\em universelle Sprache der
Mathematik} benutzen  (letztendlich sprechen Gruppentheoretiker,
Funktionalanalytiker, Kombinatoriker etc.\ alle von Strukturen, die
aus Mengen aufgebaut sind), und man kann die Mengenlehre einfach als 
eines von vielen {\em mathematischen Gebieten}  sehen, auf welchem mit
rein mathematischen (also nicht etwa philosophischen) Methoden
Strukturen analysiert werden.  Wie in jedem Gebiet der reinen
Mathematik gibt es hier Definitionen, Sätze, und Beweise.

\def\ignore#1{}\ignore{\small Fragestellungen in der Mengenlehre sind oft ursprünglich durch
außerlogische Probleme motiviert worden, insbesondere durch Fragen aus
der Topologie, Analysis, Maßtheorie, Funktionalanalysis und Algebra. 
Auf Beispiele möchte ich hier nicht näher eingehen, man findet sie in
der Literatur etwa unter den Schlagworten  descriptive set theory,
real-valued measurable, automatic continuity,
Whitehead problem, und andere.} 



Auf diesen "`innermathematischen"' Aspekt der Mengenlehre 
möchte ich mich hier
konzentrieren.   Was ist nun das Objekt der mengentheoretischen
Forschung? 


\section*{Aktuell oder potentiell ?} 


Die Aufgabe der Mengenlehre ist es, das Unendliche mit mathematischen
Mitteln zu erforschen. 


Was man unter dem "`Unendlichen"' versteht, ist in der Mathematik 
nicht kanonisch festgelegt.  Die Mathematiker nehmen hier einen
pragmatischen Standpunkt ein:  erlaubt ist das, was praktisch ist.
 Einige Beispiele:
\begin{enumerate}
\item  In der elementaren  Zahlentheorie zum Beispiel 
spielt dieser  Begriff überhaupt keine Rolle.   Wenn überhaupt, so
übernimmt die Zahl 0 die Rolle von $\infty$, denn $0$ ist im 
Teilerverband (also in der partiellen Ordnung, die durch 
die Teilbarkeitsrelation der natürlichen Zahlen gegeben
wird --- wir definieren $m\le k \Leftrightarrow $ $m$ ist ein Teiler 
von $k$), das größte Element. 
\item In der projektiven ebenen Geometrie versteht man unter
"`unendlich"' einfach eine willkürlich gewählte Gerade, deren Punkte
man als "`unendlich ferne Punkte"' oder "`Richtungen"' interpretiert. 
\item In der reellen Analysis gibt es zwei "`unendlich große"'
Objekte, 
nämlich $+\infty $ und $-\infty$.    Der Begriff  "`unendlich"' wird
hier exakt durch die Definition des Grenzwertes formalisiert. 

\item In der komplexen Analysis erweist es sich meistens als sinnvoll
(und oft als möglich), mit nur einem Wert "`unendlich"' zu rechnen. 
\end{enumerate}

In den ersten beiden Beispielen ist das Unendliche (in der jeweiligen
Interpretation)  "`aktuell unendlich"' -- das Unendliche wird hier
als Objekt der Theorie selbst betrachtet, in den anderen beiden
Beispielen steht das "`potentiell Unendliche"' im Vordergrund,
das Unendliche
als Umschreibung für einen unendlichen Prozess. 

In der Mengenlehre untersuchen wir einen Begriff des Aktual-Unendlichen. 
 Die  Geburtsstunde der Mengenlehre schlug in jenem Moment, als Georg
 Cantor entdeckte, dass es 
 es verschiedene "`Gr"oßen"' von unendlichen Mengen gibt.  

Die Begriffe  "`abz"ahlbar"' und "`"ub\-er\-ab\-z"ahl\-bar"'
sind den Lesern wohl schon bekannt, 
das ist aber noch l"angst nicht alles. Es gibt eine
unendliche Skala von unendlichen
 "`Kardinalit"aten"', und diese Skala ist nicht nur unendlich lang, sondern
sogar  \"uberabz\"ahlbar --- wie lang
genau, das kann hier noch nicht formuliert werden, dazu müssen 
wir erst eine eigene Sprache schaffen. 

\section*{Gleichm\"achtigkeit}

Die 
 grundlegende Definition, die es erlaubt, unendliche Mengen nach
ihrer Größe zu unterscheiden, ist folgende: 

\begin{Definition}  $A \approx B$, in Worten:   "`$A$ ist gleichmächtig mit
$B$"', 
genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung von $A$ nach $B$ gibt. 
\end{Definition}


Wenn $A$ endlich ist, dann bedeutet $A \approx B$: "`$B$ hat genau so
viele Elemente wie $A$"'.   Der Begriff "`gleichmächtig"'
verallgemeinert also den Begriff "`gleich viele Elemente"', den wir
aus der Welt der endlichen Mengen kennen. 


ACHTUNG!   Bei unendlichen Mengen kann es durchaus vorkommen  ({\sl
tat\-säch\-lich kommt es {\em immer} vor}\footnote{Bei meinem Vortrag
über dieses Thema im Rahmen eines "`Didaktiktags"' an der Universität 
Wien wurde ich auch über die Rolle des Auswahlaxioms befragt. 
Da es sich bei dem vorliegenden Artikel nur um eine recht oberflächliche
Einführung in Ideen der Mengenlehre handelt, möchte ich auf das Thema 
Auswahlaxiom hier nicht näher eingehen.   Als Markierung für den
Eingeweihten werde ich aber bei jedem Satz, der das Auswahlaxiom zum
Beweis braucht, einen {\sl speziellen Zeichensatz} verwenden.}),
dass eine Menge $A$ zu einer
echten Teilmenge $B \subset A$ gleichmächtig ist.   Zum Beispiel sind 
die Mengen $A = \{0,1,2,3\ldots \,\}$ und  $B= \{1,2,3\ldots \,\}$
gleich\-mäch\-tig, weil die Abbildung $n\mapsto n+1$ eine Bijektion
ist. \footnote{An dieser Stelle hört man in der einen oder anderen
Form immer wieder die Frage: Ja,
aber was passiert am Ende? Wohin wird das letzte Element von $A$
abgebildet?% Ist $B$ nicht etwas kürzer?
} 

Dies kann bei endlichen Mengen natürlich nicht auftreten. 

Für unendliche Mengen treten aber noch viel seltsamere Situationen
auf:  Es kann vorkommen, dass eine Menge $A$ gleichmächtig mit 
$A \times A = \{ (x,y): x,y\in A\}$ ist. {\sl (Tatsächlich tritt
dies sogar immer auf)}

Ich überlasse es dem Leser, nachzurechnen, dass die Abbildung $(m,n)
\mapsto 2^n\cdot(2k+1)-1$ eine Bijektion von $\N\times \N$ nach $\N$
ist.  Man kann auch eine explizite Bijektion von $\R\times \R$ nach
$\R$ angeben, also: 
\begin{quote}
Die Ebene ist gleichmächtig mit der Geraden!
\end{quote}




Die angeführte  Definition der Gleichmächtigkeit 
 liefert auch gleich eine mögliche 
formale Definition des Begriffs "`unendliche Menge"'.  Wenn man davon
ausgeht, dass die natürlichen Zahlen ein bereits bekannter Begriff
sind, kann man definieren: 

\begin{Definition}  Eine Menge $A$ heißt endlich, wenn es eine natürliche
Zahl $n\in\N$ gibt, sodass $A$ und $\{k\in \N: 1 \le k\le n\}$
gleichmächtig sind.   Andernfalls heißt die Menge $A$ unendlich. 
\end{Definition}


{\small  Man kann das Begriffspaar endlich/unendlich aber auch ohne
Rückgriff die natürlichen Zahlen definieren.  Man definiert zB eine
Menge $A$ als T-endlich\footnote{Diese Definition geht auf Alfred Tarski
zurück}, wenn ihre Potenzmenge $\P(A)$ die folgende 
Eigenschaft hat: 
\begin{quote}
Jede nichtleere 
Teilmenge $\B \subseteq \P(A)$ hat ein (bezüglich der Inklusion
$\subseteq$) maximales Element.
\end{quote}
Endliche Mengen (im oben definierten Sinn) sind sicher T-endlich, denn 
jede nichtleere Menge $\B \subseteq \P(A)$ hat  mindestens ein Element
$C$, welches bezüglich seiner Kardinalität größtmöglich ist, dieses $C$ muss
dann auch bezüglich $\subseteq$ maximal sein. 

Umgekehrt ist jede T-endliche Menge $A$ wirklich endlich.  Sei nämlich $\B 
\subseteq \P(A)$ die  Menge aller endlichen Teilmengen von $A$.  Da 
$A$ T-endlich ist, hat $\B$ ein maximales Element $A'$.   $A'$ ist also 
endlich, und es muss $A'=A$ gelten, sonst bekommt man leicht einen
Widerspruch zur Maximalität von $A'$. 

Die beiden angeführten scheinbar verschiedenen Definitionen von 
"`endlich"' und "`T-endlich"' führen also auf denselben Begriff. 
}







\section*{Satz von Cantor}

Die Relation $\approx$ ist natürlich eine Äquivalenzrelation
(reflexiv, symmetrisch, transitiv).     Die Aufgabe
\begin{quote}
Erforsche das Unendliche (mit mathematischen Mitteln)!
\end{quote}
kann man nun folgendermaßen präzisieren: 
\begin{quote}
Untersuche die Äquivalenzklassen  der  Relation "`gleichmächtig"'!
\end{quote}

Zunächst gibt es für jede natürliche Zahl $n$ die Klasse der Mengen,
die genau $n$ Elemente enthalten.
  Diese Klassen, die also nur  endliche Mengen
enthalten, wollen wir im Folgenden beiseite lassen. 

Interessant wird die Gleichmächtigkeitsrelation mit folgendem Satz: 

\begin{Satz von Cantor, schwache Form}
   Es gibt zwei unendliche Mengen $A$ und $B$, sodass
$A\not\approx B$. 
\end{Satz von Cantor, schwache Form}


In Anbetracht des oben zitierten Satzes (die Ebene hat "`genau so
viele"' Elemente wie die Gerade), ist es zunächst nicht
offensichtlich, wie man zwei "`verschieden große"' Mengen konstruieren
kann.\footnote{Achtung! Wenn man von einer Menge $B$ weiß, dass sie
gleichmächtig mit einer  
echten Teilmenge von $A$ ist, dann hat man NOCH NICHT bewiesen, dass
$A \not \approx B$.  Es genügt nicht, zu zeigen, dass es irgendeine
nicht-Bijektion von $A$ nach $B$ gibt, man muss zeigen, dass es keine
Bijektion gibt.} 


\subsection*{Beweis des Satzes von Cantor}
  Sei $\P(\N)$ die Potenzmenge von $\N$, also
   die Menge aller Teilmengen von $\N$. 
   Wir zeigen, dass eine Abbildung $f:\N \to\P(\N)$ niemals surjektiv
   sein kann.  Daher ist $\N\not\approx \P(\N)$. 

Sei also eine Abbildung $f:\N \to\P(\N)$ gegeben.
 {\small [Objekte von
 der Form $f(n)$ sind also immer Teilmengen von $\N$]}
Um zu zeigen, dass $f$ nicht surjektiv sein 
kann, werden wir   eine Menge $A \in \P(\N)$
 (also $A \subseteq \N$) finden,  die nicht im Wertebereich von $f$
 liegt. 


Wir werden zeigen,  dass die Menge 
$$ A_f:= \{ n\in \N:    n\notin f(n) \}$$
sicher nicht im Wertebereich von $f$ liegen kann.\footnote{An dieser Stelle 
empfehle ich dem Leser, selbst zu zeigen, dass die Annahme $A_f = f(k)$ 
auf einen Widerspruch  führt --- einen selbstgefundenen Beweis versteht er/sie 
möglicherweise besser als den in den folgenden Absätzen präsentierten.}  
  Um zum Beispiel zu
zeigen, dass $A_f \not= f(23)$ ist, genügt es, eine einzige natürliche
Zahl $z = z_{f,23}$ zu finden, die zwar Element von  $A_f$ ist, aber nicht von
$f(23)$.  Es würde auch genügen, eine einzige Zahl $z $ zu finden, die
die umgekehrte Bedingung  erfüllt, also: $z \notin A_f$ aber $z\in
f(23)$. 
\\ 
Es stellt sich heraus, dass die Zahl $z=23$ eine der beiden
Anforderungen erfüllt, also entweder in $A_f\setminus f(23)$ oder in
$f(23) \setminus A_f$ liegt.   Wenn nämlich $23\in f(23)$, dann ist
(nach Definition von $A_f$) $23\notin A_f$.   Wenn aber $23\notin f(23)$,
dann ist (wiederum nach Definition von $A_f$) $23\in A_f$. 

Diese Argumentation funktioniert aber für jede andere Zahl $k$ an der
Stelle von 23 auch ---
$A_f$ kann also nicht von der Form $f(k)$ sein. Also ist $f$ nicht
surjektiv. Damit ist der Beweis abgeschlossen. 
 {\small [Man könnte nun hoffen, dass $A_f$ vielleicht die 
einzige Menge ist, die nicht im Bild von $f$ auftritt, und statt der 
Funktion $f$ die 
Funktion $g$ mit $g(0)= A_f$, $g(1) = f(0)$, $g(2) = f(1)$, etc, betrachten
--- der Wertebereich der Funktion $g$ umfasst den gesamten Wertebereich von
$f$, und er enthält überdies noch die Menge $A_f$.   --- Das hilft aber
nichts: auch zur Funktion $g$ kann man (wie ja zu {\bf jeder}
 Funktion von $\N$
nach $\P(\N)$) eine  Menge $A_g$ konstruieren, die nicht im Wertebereich von 
$g$ vorkommt.]}



Zur Illustration dieses Beweises  betrachen wir als Beispiel die 
folgende Abbildung $f$, die zB der
Zahl $0$ die Menge aller nat\"urlichen Zahlen zuordnet, dann der Zahl 1
die leere Menge, dann die ungeraden Zahlen, die Primzahlen, usw. 
\ialign{& \hfil$#$ \hfil\cr
\qquad f(0) =  \{ & 0, & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & 7, & 8, & \ldots & \}\cr
\qquad f(1) =  \{ &    &    &    &    &    &    &    &    &    & \ldots & \}\cr
\qquad f(2) =  \{ &    & 1, &    & 3, &    & 5, &    & 7, &    & \ldots & \}\cr
\qquad f(3) =  \{ &    &    & 2, & 3, &    & 5, &    & 7, &    & \ldots & \}\cr
\qquad f(4) =  \{ & 0, &    & 2, &    & 4, &    & 6, &    & 8, & \ldots & \}\cr
   &&& \ldots \cr
}
Eine  Menge $A$, die sicher nicht im Wertebereich von $f$ liegt, bekommt
man, nun, wenn man in obigem Diagramm entlang der Diagonale geht: 
{\catcode`!\active \def!#1{{\bf #1}}
\ialign{& \hfil$#$ \hfil\cr
\qquad f(0) =  \{ & !0, & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & 7, & 8, & \ldots & \}\cr
\qquad f(1) =  \{ &    & !\_   &    &    &    &    &    &    &    & \ldots & \}\cr
\qquad f(2) =  \{ &    & 1, & !\_   & 3, &    & 5, &    & 7, &    & \ldots & \}\cr
\qquad f(3) =  \{ &    &    & 2, & !3, &    & 5, &    & 7, &    & \ldots & \}\cr
\qquad f(4) =  \{ & 0, &    & 2, &    & !4, &    & 6, &    & 8, & \ldots & \}\cr
   &&& \ldots \cr
}}
\noindent und das Komplement bildet, aus $\{0, \ \ \ 3, 4, \ldots\}$ entsteht
$A= \{\ \ 1, 2, \ \ \ \ , \ldots \}$, und sicherlich ist $A \not=f(0)$
(weil ja $0\in f(0)$, aber $0 \notin A$).    Ebenso erh"alt man $A\not=
f(1)$, etc.  


Dieser Beweis, den man aus offensichtlichen Gründen auch als
"`Diagonalisierung"' bezeichnet, 
  ist also ganz analog zum  Beweis, dass
die Menge der  reellen Zahlen "uberabz"ahlbar ist. 

Dieser Beweis zeigt aber noch viel mehr als die oben genannte schwache
Form: 

\begin{Satz von Cantor, starke Version}
   F\"ur jede  Menge $A$ gilt: $A\not\approx\P(A)$. 
\end{Satz von Cantor, starke Version}

Anmerkung:   Der oben gegebene Beweis ist natürlich nur für unendliche 
Mengen $A$ interessant.   Für endliche Mengen $A$ funktioniert er zwar
auch, doch liefert eine kombinatorische Überlegung viel mehr Information: 
Wenn $A$ $n$ Elemente hat, dann hat $\P(A)$ $2^n$ Elemente. 



\section*{Vergleich von Mächtigkeiten}




Die {\em Kardinalität} oder {\em Mächtigkeit}
 einer Menge $A$ ist die Äquivalenz\-klasse der
Menge $A$ bezüglich der Relation $\approx$.   Zum Beispiel ist die
Kardinalität einer Einermenge $\{a\}$ die Klasse aller Einermengen.   

Da es unhandlich ist, mit so großen Klassen zu rechnen, verwenden wir
stattdessen "`Kardinalzahlen"':   Aus jeder Kardinalität wählen wir
einen kanonischen Repräsentanten.   ZB wählen wir aus der Klasse der
Einermengen die Menge $\{0\}$ als Repräsentanten aus, aus der Klasse
der Zweiermengen die Menge $\{0,1\}$. 
\\
Diese Repräsentanten nennen wir dann {\em Kardinalzahlen}. 


Für jede Menge $A$ schreiben wir $|A|$ für die Kardinalzahl (manchmal
auch für die Kardinalität) von $A$.  Es gilt also: 
\begin{quote} $A\approx B$ genau dann, wenn $|A| = |B|$. \end{quote}



Wir wollen nun die Struktur der Klasse aller Kardinalzahlen
untersuchen. 


\begin{Definition}   $A\lesssim B$ ($B$ ist mächtiger als $A$, $A$ ist
schmächtiger als $B$) ist definiert durch: 
\begin{quote}
Es gibt eine injektive Abbildung $f:A\to B$
\end{quote}
oder äquivalent:   $A$ ist gleichmächtig mit einer Teilmenge von $B$
(nicht notwendigerweise mit einer echten Teilmenge). 
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
 Es gilt stets: $A \lesssim \P(A)$, denn die Abbildung
$ f: A\to \P(A)$, $a\in A \ \mapsto \{a \} \in \P(A)$ ist offensichtlich 
injektiv. 
\end{Beispiel}

Es ist klar, dass $\lesssim$ eine transitive Relation ist. 
Weiters ist klar, dass die  Beziehung $\lesssim $ nur von den
$\approx$-Äquivalenzklassen abhängt, d.h.: Wenn $A\approx A'$, 
$B \approx B'$, dann ist $A\lesssim B$ mit $A' \lesssim B'$
äquivalent.


Es ist
nicht ganz offensichtlich (aber doch beweisbar), dass 
 $\lesssim$ (modulo der Relation $\approx$) antisymmetrisch ist, d.h.:

\newtheorem{CSB}[thm]{Satz von Cantor, Schr\"oder und Bernstein} 
\begin{CSB}
 Wenn $A\lesssim  B$ und $B \lesssim A$, dann $A\approx B$. 
{\small [Mit anderen Worten:  Wenn es injektive Abbildungen $f:A \to
B$ und $g:B \to A$ gibt, dann gibt es eine Bijektion $h:A \to B$.
$h$ lässt sich sogar mehr oder weniger explizit aus $f$ und $g$
konstruieren.]}
\end{CSB}


Daher werden die Kardinalitäten (bzw die Kardinalzahlen)  durch die
Relation $\lesssim$ partiell geordnet.  
Statt $A\lesssim B$ schreiben wir daher auch $|A|\le |B|$. 

\bigskip
{\sl Aber es gilt noch mehr: 

\newtheorem{Vgl}[thm]{Satz \"uber die Vergleichbarkeit} 
\begin{Vgl}
\sl  Für alle Mengen $A$, $B$ gilt:  $A\lesssim B $ oder $B
\lesssim A$. 
\end{Vgl}
}

"`Oder"' ist hier (wie in der Mathematik üblich) im einschließenden
Sinne zu verstehen.    Nach dem Satz von Cantor, Schr\"oder und
Bernstein können die 
beiden Alternativen nur dann gleichzeitig  auftreten, wenn $A \approx
B$. 
\\  Wenn nur die Alternative $A\lesssim B$ gilt (also $B\not\lesssim
A$ oder äquivalent: $B\not\approx A$), dann schreiben wir $|A|< |B|$. 



{\sl 
Daher induziert die Relation $\simeq$ auf den Kardinalitäten oder
Kardinalzahlen  eine
lineare Ordnung. 
    Diese Ordnung hat überdies noch die Eigenschaft,
  dass jedes ihrer Elemente $\kappa$ einen direkten Nachfolger
  $\kappa^+$ hat. 
% , und dass jede Teilmenge dieser Ordnung eine kleinste
%  obere Schranke hat. 

}

\section*{Abzählbare Mengen}


Den Anfang der Ordnung der Kardinalitäten kennen wir:  0 = die
Kardinalzahl  der leeren Menge, $1= 0^+$  ist die Kardinalzahl jeder
Einermenge, etc.  

Mit ${\aleph_0} $  ("`Aleph 0"') oder auch $\beth_0$
("`Beth\footnote{$\aleph$ und $\beth$ sind die ersten beiden
Buchstaben des hebr\"aischen Alphabets. $\aleph$ ist überdies der
erste Buchstabe des hebräischen Ausdrucks "`e\"\i n sof"', was
"`es gibt kein Ende"' bedeutet.} 0"') bezeichnen wir die
Kardinalzahl von $\N$, oder die 
Kardinalität jeder abzählbaren Menge.    {\small (Eine Menge $A$ heißt
abzählbar, wenn  es eine Bijektion $f:\N\to A$ gibt.)}

Statt "`Kardinalität (Kardinalzahl) der Menge der \dots"'
sagen wir auch informell "`Anzahl der \dots"'.   ZB gilt $|\Q|=
\aleph_0$, d.h., es gibt eine Bijektion von $\N $ nach
$\Q$.\footnote{Mit den bis jetzt zitierten Sätzen lässt sich dies auch
einfach beweisen:  $\N\lesssim \Q$ ist trivial,  ebenso $\Q \lesssim
\N\times \N \approx \N$.  Also $\N\lesssim \Q\lesssim \N$, daher
$\Q\approx \N$.  Man kann aber auch eine explizite Bijektion angeben.}
Diesen Sachverhalt beschreiben wir durch die Worte
\begin{quote}
Die Kardinalität der Menge der rationalen Zahlen ist ${\aleph_0}$.
\end{quote}
oder: 
\begin{quote}
Es gibt ${\aleph_0} $ viele (= "`abzählbar viele"') rationale Zahlen. 
\end{quote}

Ebenso kann man leicht zeigen:  Es gibt nur 
 ${\aleph_0} $ viele endliche Teilmengen von $\N$: Sei $\E$ die Menge
 der endlichen Teilmengen von $\N$, dann m\"ussen wir 
wir eine injektive  Abbildung von $\E$ nach $\N$ angeben. Sei $p_0  <
 p_1 < p_2 < p_3 < \cdots $ eine unendliche Folge von Primzahlen, dann
 ist es leicht zu sehen, dass die Abbildung $F: \E\to \N$, definiert
 durch $$ F(E) = \prod_{i\in E} p_i
\qquad \qquad
\mbox{ für $E \in \E$}
$$ injektiv ist. 



Abzählbare Mengen kommen  überall in der Mathematik vor. 
$\aleph_0 = \beth_0$ ist nicht nur die Anzahl der natürlichen Zahlen,
der Primzahlen, der rationalen Zahlen, der algebraischen Zahlen, der Polynome
mit rationalen Koeffizienten, der $7\times 7$-Matrizen über $\Q$, 
 sondern auch die Kardinalität vieler endlich 
erzeugter Objekte, wie zB der freien Gruppe mit 1104  Erzeugenden, 
 oder der Menge aller Computerprogramme.   Weiters tritt $\aleph_0$ oft
als Kardinalität einer (in gewissem Sinn) "`erzeugenden"' Teilmenge 
von größeren Strukturen auf:  die reellen Zahlen und viele
andere interessante 
topologische Räume haben eine abzählbare dichte Teilmenge, viele interessante
Hilbert\-räume haben eine abzählbare Hilbert\-basis, etc. 




\section*{Die reellen Zahlen}


Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar\footnote{Achtung: 
 Unter jeder sinnvollen Definition des Wortes "`definierbar"'
gibt es nur abzählbar viele definierbare reelle Zahlen (weil es nur 
abzählbar viele Definitionen gibt --- eine Definition muß ja 
durch einen endliche Zeichenkette in irgendeinem endlichen Alphabet
 beschrieben werden).    Daher gibt es jedenfalls 
auch "`undefinierbare"' reelle Zahlen.     Das mag paradox erscheinen -- wie 
kann man beweisen, dass es etwas gibt, dessen Existenz man nicht "`explizit"'
belegen  kann?
\endgraf 
Auf philosophische Antworten auf diese ontologische Frage möchte ich
hier nicht eingehen; in der (klassischen) mathematischen Logik
erledigt sich diese Frage durch die "`richtige"' (oder jedenfalls
"`praktische"') Verwendung  des Begriffs "`es gibt"'.}
 (d.h., unendlich aber
nicht abzählbar.) 
Wieviele reelle Zahlen gibt es?   Diese Frage beantwortet der
folgenden Satz nur zum Teil: 


\begin{Satz}   Die folgenden Mengen haben alle dieselbe Mächtigkeit: 
\begin{enumerate}
\item $\R$, die Menge der reellen Zahlen
\item $(0,1)$, das offene  reelle Einheitsintervall
\item $[0,1]$, das abgeschlossene reelle Einheitsintervall
\item $\N^\N$, die Menge aller Folgen natürlicher Zahlen
\item $\{0,1\}^ \N$, die Menge aller $\{0,1\}$-Folgen
\item $\P(\N)$, die Menge aller Mengen natürlicher Zahlen
\item $\P_\infty(\N)$, die Menge aller unendlichen Mengen natürlicher Zahlen
\item Die Menge aller Borelmengen der reellen Zahlen. 
\item Die Menge aller Funktionen von $\N$ nach $\R$. 
\item Die Menge aller Funktionen von $\Q$ nach $\R$. 
\item Die Menge aller gleichm\"a"sig 
stetigen Funktionen von $\Q\cap[0,1] $ nach $\R$. 
\item Die Menge aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$. 
\end{enumerate}
\end{Satz}

\subsubsection*{Partieller Beweis:}
  $(-\frac\pi2, \frac\pi2) \approx  
(0,1)\lesssim [0,1] \lesssim \R$ ist trivial. Eine Bijektion zwischen
$\R$ und   $(-\frac\pi2, \frac\pi2) $ kann man mit Hilfe der
tangens-Funktion bilden. 
\\
$\{0,1\}^\N \approx \P(\N)$ beweist man mit Hilfe von
charakteristischen Funktionen.  $\{0,1\}^\N \lesssim   \R$ kann man
der Dezimalbruchentwicklung zeigen, genauer:  die Funktion 
$$(a_0, a_1, \ldots) \in \{0,1\}^\N \  \mapsto \ \sum_i  \frac{a_i}{10^i}$$
ist injektiv.  Mit Hilfe der Bin\"arentwicklung kann man eine
injektive Funktion von $(0,1)$ nach $\{0,1\}^\N$ finden. 
\\
$\{0,1\}^\N\lesssim \N^\N$ ist klar, und $\N^\N \lesssim \R$ lässt sich zB
mit Hilfe von Kettenbruchentwicklungen zeigen. 
\\ 
Nach Anwendung des Satzes von Cantor, Schr\"oder und
Bernstein sind damit die  Gleichmächtigkeiten der unter 1--6 genannten
Mengen nachgewiesen.  Der Rest ist eine Spur
komplizierter und wird dem ambitionierten Leser überlassen.

\vskip 1cm



Wir schreiben $\beth_1$,  manchmal auch $2^ {\aleph_0}$  ["`zwei hoch
aleph 0"'] oder $\c$  ["`Fraktur  c"',  "`Kontinuum"'] 
 für die Kardinalität aller dieser Mengen.  
Also $$ |\R| = |[0,1]| = |(0,1)| = \cdots =|\P(\N)| =  \beth_1$$

Wir haben also $|\N|= {\beth_0} $, $|\P(\N)|=\beth_1$, und nach dem Satz von 
Cantor ist $\beth_0 <\beth_1$. 


Viele unendliche Strukturen, die in der Mathematik vorkommen, haben
Kardinalität $\c$:   Natürlich die reellen oder komplexen Zahlen ($\R$,
$\C$), ebenso  $\R^n$ oder $\C^ n$ und überhaupt 
alle separablen Banachräume (die mehr als ein Element haben), sowie
die oben unter 1--12 genannten Mengen. 


\section*{Die $\beth$-Hierarchie}



Wir kennen bereits $\beth_0 = \aleph_0 = |\N|$ und 
 $\beth_1 = |\P(\N)| = |\R|$.

Ebenso definieren wir nun $\beth_2 = |\P(\P(\N))| = |\P(\R)|$. 


$\beth_2$ ist zum Beispiel 
die Kardinalität von $\P(\R)$,  von $\P(\P(\N))$, oder 
von $\N \cup \P(\N) \cup \P(\P(\N))$.  
$\beth_2$ ist auch die Anzahl  aller Funktionen von $\R$ nach $\R$, 
oder auch nur der  Riemann-integrierbaren 
Funktionen. 



Allgemein definieren wir $\beth_n$ als die Kardinalität jener Menge,
die man erhält, wenn man den Potenzmengenoperator $n$ Mal auf die
Menge $\N$ anwendet.  

Man kann zeigen, dass man so eine unendliche streng wachsende Folge
von Kardinalzahlen bekommt: $\beth_0 < \beth_1 <\cdots $.   


Es gibt aber noch viel größere Mengen!   Betrachten wir die Menge 
$$ B := \  \N \cup \P(\N) \cup \P(\P(\N)) \cup \cdots $$

Mit 
$\beth_\omega$ bezeichnen wir die  Kardinalität dieser Menge $B$. 
 
Offensichtlich ist $\N\lesssim B$, $\P(\N) \lesssim B$, \dots
\\
Daher auch $\beth_0  = | \N | < |\P(\N)| = \beth_1 \le | B|$,  also 
$\beth_0 < \beth_\omega $.   Ebenso erhalten wir 
$\beth_1 < \beth_\omega $, etc. 



Es stellt sich heraus, dass $\beth_\omega $ die kleinste Kardinalzahl 
ist, die größer als alle $\beth_n$ ist.   

% $\beth\omega$ hat keinen Vorgänger. 

Mit $\beth_\omega $ ist es aber noch lange nicht aus.
$\beth_{\omega+1}$ ist die Kardinalität der Potenzmenge $\P(B)$ der
oben betrachteten Menge $B$, davon können wir wieder die Potenzmenge
bilden (deren Kardinalität heißt dann $\beth_{\omega+2}$, etc. 


Bis jetzt haben wir also abzählbar viele Kardinalzahlen kennengelernt.
Tatsächlich gibt es aber viel mehr: Es gibt mindestens  $\beth_1$ viele
Kardinalzahlen, also sicher überabzählbar viele.
 (D.h.\ formal: es gibt eine injektive Abbildung $f$,
deren Definitionsbereich die Menge $\R$ oder sonst eine Menge mit
Kardinalität $\beth_1 $ ist, und deren Funktionswerte lauter
Kardinalzahlen sind.)
\\
Ebenso gilt:  Es gibt mehr als $\beth_2$ viele Kardinalzahlen.  Sogar 
mehr als $\beth_\omega $ viele, etc.!





\section*{Die $\aleph$-Skala}

Wir wissen bereits: 
\begin{Satz von Cantor}  $A < \P(A)$ gilt für alle Mengen
$A$. 
\end{Satz von Cantor}

% ($A \lesssim \P(A)$ läßt sich leicht mit der Abbildung $F: a\in
% A\mapsto \{a \} \in \P(A)$ zeigen.) 


Daher gilt:   Zu jeder Kardinalität gibt es eine größere.    
Man kann sogar Folgendes zeigen: 

\sl 
\begin{Satz} \sl   Zu jeder Kardinalität (Kardinalzahl) gibt es
einen "`Nachfolger"', d.h.\  eine "`nächstgrößere"'.   Weiters gilt: 
Jede Menge von Kardinalzahlen hat eine kleinste obere Schranke.
\end{Satz}

Die erste unendliche Kardinalzahl bezeichnen wir mit ${\aleph_0} $. 
Die nächstgrößere mit ${\aleph_1}$, die nächstgrößere mit ${\aleph_2}$, etc. 


$\aleph_2$ hat also die Eigenschaft, genau zwei Vorgänger zu haben,
d.h.: es gibt genau zwei unendliche Kardinalzahlen, die kleiner als
${\aleph_2}$ sind.

Mit ${\aleph_\omega} $ beweichnen wir die erste Kardinalzahl, die größer 
als alle ${\aleph_n} $ ist.   Äquivalent könnte man auch definieren:  

${\aleph_\omega} $ ist die erste Kardinalzahl, die unendliche viele
Vorgänger  hat. 



\subsection*{Charakterisierung der $\aleph$s}

Die Kardinalzahl  $\aleph_0$ lässt sich als kleinste
{\bf unendliche} Kardinalzahl auch so charakterisieren: 
\begin{quotation} \rm \noindent Für eine Menge $A$ ist  $|A|= \aleph_0$
 genau dann, 
wenn  folgendes gilt: 
\begin{itemize}
\item $A$ ist unendlich
\item Für alle $B \subseteq A$ gilt:  Entweder $B$ ist endlich, oder
$B\approx A$. 
\end{itemize}
\end{quotation}  


Ähnlich lässt sich $\aleph_1$ als kleinste 
{\bf überabzählbare} Kardinalzahl  so charakterisieren: 
\begin{quotation} \noindent Für eine Menge $A$ ist  $|A|= \aleph_1$
 genau dann, 
wenn  folgendes gilt: 
\begin{itemize}
\item $A$ ist unendlich und nicht abzählbar
\item Für alle $B \subseteq A$ gilt:  Entweder $B$ ist  höchstens 
abzählbar (d.h., endlich oder abzählbar unendlich),  oder 
$B\approx A$. 
\end{itemize}
\end{quotation} 

\rm

\subsection*{Vergleich von $\beth$ und $\aleph$}

Wir wissen bereits, dass $\beth_1 > \beth_0 = {\aleph_0} $.   Daher
ist  $\beth_1 \ge {\aleph_1}$. 

Ist $\beth_1 = {\aleph_1} $?   Dies ist mit den üblichen Axiomen der
Mengenlehre nicht entscheidbar.   Das heißt: 

\begin{enumerate}
\item[(1)] Es gibt keinen Beweis dafür, dass $\beth_1 = {\aleph_1} $ ist. 
\item[(2)] Es gibt keinen Beweis dafür, dass $\beth_1 > {\aleph_1} $ ist. 
\end{enumerate}
(Diese beiden Aussagen, d.h.\ (1) und (2), 
sind allerdings sehr wohl beweisbar, aber nicht
trivial.) 












\section*{Kontinuumshypothese}


Die oben aufgetauchte Frage "`Ist $\beth_1= \aleph_1$?"' lässt sich
auch so umschreiben und präzisieren:  
\begin{itemize}
\item Gibt es Kardinalitäten, die zwischen  $\beth_0$ und  $\beth_1$  liegen? 
\item Wenn ja, wie viele?   Eine? (Das hieße ${\beth_0} =  {\aleph_0}
< {\aleph_1} < {\aleph_2} = \beth _1 $)   Oder vielleicht zwei? 
(Dann wäre  ${\beth_0} =  {\aleph_0}
< {\aleph_1} < {\aleph_2} < {\aleph_3}  = \beth _1 $)
Oder 2000?  Oder abzählbar viele?  $\beth_1$ viele? 
(Jedenfalls nicht mehr als $ \beth_1$ viele!) 
\end{itemize}

\bigskip


Die folgenden Fragen haben alle dieselbe Antwort:  

\begin{enumerate}
\item
Gibt es eine Kardinalität, die zwischen  $\beth_0$ und  $\beth_1$  liegt? 
\item Gibt es eine Menge $A \subseteq \R$, die zwar über\-ab\-zähl\-bar ist, 
aber noch nicht $ A\approx \R$ erfüllt?  
\item  Ist $\beth_1 > \aleph_1$ ? 
\end{enumerate}

Die {\em Kontinuumshypothese (abgekürzt: CH)} sagt, dass die Antwort "`nein"'
lautet. 



\subsection*{Wir seh'n betroffen \dots }

Wie schon erwähnt, ist   CH ist nicht beweisbar.  D.h., es gibt keine
explizite Bijektion von einer  
Menge der Größe $\aleph_1$ auf $\R$. 

CH ist auch nicht widerlegbar.  D.h., es gibt keine explizit  beschreibbare
 Menge $A \subseteq \R$, die zwar überabzählbar aber noch $<\R$ ist. 


Es gibt also ganz konkrete Fragen, die (mit Hilfe  der üblichen
mengentheoretischen Axiome)   nicht beantwortet werden können. 

{\small (So wie auch etwa das Parallelenaxiom nicht  mit Hilfe der übrigen
Axiome der euklidischen  Geometrie beweisbar oder widerlegbar ist.)}

Im Hinblick auf den Gödelschen Un\-voll\-stän\-dig\-keits\-satz
ist das aber nicht 
verwunderlich:  \\ {\bf Jedes} mathematische System\footnote{das gewisse
Minimalanforderungen erfüllt --- als Schlagworte seien hier nur die 
Entscheidbarkeit des Axiomensystems und die Repräsentierbarkeit 
der Arithmetik genannt}  ist "`unvollständig"', d.h.\ es wird immer
(im betrachteten System formulierbare) Fragen geben, die (im
betrachteten System) nicht beantwortet werden können! 



\section*{Quellengeplätscher}


Die angeführten Ideen, Definitionen und  Sätze sollen nur als
Appetitanreger für weitere Lektüre dienen. Wo findet man nun
weiterführende Lehrbücher? 

\newcommand{\xa}[1]{{\bf #1}}
\newcommand{\xt}[1]{{\it #1}}

\xa{P.~Halmos} ist berühmt für seine allgemeinverständlichen Lehrbücher.
Sein Buch \xt{Naive Mengenlehre} ist für den Anfänger leicht zu lesen, 
erzählt aber nur wenig über die eigentlichen Sätze und Probleme der 
Mengenlehre, sondern begnügt sich damit, zu erklären, wie die
mengentheoretische Sprache in der
mathematischen  Wirklichkeit angewendet werden kann. 
(Auswahlaxiom und Ordinalzahlen kommen allerdings schon vor.)
Begleitend dazu empfiehlt sich das Buch \xt{Exercises in Set Theory}
von \xa{L.E.Sigler}, in dem Übungsaufgaben gestellt und auch gelöst
werden. 


Das Buch \xt{Mengenlehre I} von \xa{J.~Schmidt}
 erklärt recht breit und ver\-ständ\-lich die
grundlegenden mengentheoretischen Konzepte. 


Das Buch \xt{Basic Set Theory} von \xa{A.~Levy} ist trotz seines
bescheidenen Titels wohl zu umfangreich für den Anfänger.
Hochinteressant (aber noch schwieriger) finde ich das Buch 
\xt{Foundations of Set Theory}, wo die Autoren \xa{Y.~Bar-Hillel,
A.~Fraenkel und A.~Levy} auch auf die Antinomien und auf 
philosophische Probleme eingehen. 


Die erste Hälfte des Buchs \xt{Intermediate Set Theory} von
\xa{F.R.~Drake und D.~Singh} halte ich auch für Anfänger recht
lesbar. 


Der Umfang des ausgezeichneten Buchs \xt{Set theory: An introduction to 
independence proofs} von \xa{K.~Kunen}
 liegt um viele Größenordungen über dem, was hier präsentiert wurde. 
Dennoch würde ich dem ambitionierten Leser zumindest das Vorwort und 
das erste Kapitel dieses Buchs sehr empfehlen.   


\end{document}



