Was ist Mengenlehre? A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Mengenlehre ist …

1. die oder jedenfalls: eine universelle Sprache der Mathematik

2. Hardware der Mathematik

3. Erforschung des Unendlichen mit mathematischen Mitteln

In der Mengenlehre betrachten wir oft (eigentlich: immer) Mengen, deren Elemente wiederum Mengen sind. Wenn A und B Mengen sind, dann sind auch {A} und {A, B} Mengen. Und

meist sind gerade solche “Mengen von Mengen” oder “Mengenfamilien” interessant.

Potenzmenge

Wenn A eine Menge ist, dann bezeichen wir mit 𝒫(A) die Potenzmenge von A, also die Menge aller Teilmengen von A.

Beispiel: Wenn A = {a, b, c} 3 Elemente hat, dann hat 𝒫(A) 8 = 2^{3} viele Elemente:

{a, b, c},
{b, c}, {a, c}, {a, b},
{a}, {b}, {c},
∅

Jede Menge (Familie) von Teilmengen von A ist eine Teilmenge von 𝒫(A).

Beispiel 1: A = wie oben, Familie ℬ := die Menge aller Teilmengen von A, die eine gerade Zahl von Elementen haben:

ℬ = { ∅, {a, b}, {b, c}, {a, c} }

Beispiel 2: A = ein Vektorraum, ℬ = Familie aller linear unabhängigen Teilmengen von A. Beispiel 3: Oder: A eine unendliche Menge, ℬ = Familie der endlichen Teilmengen von A.

Endlich und unendlich

Was ist “endlich”?

Versuch einer Definition:

• Endliche Menge = Mengen, die man hinschreiben kann

• Endliche Mengen entstehen so:

– Die leere Menge ∅ ist endlich.

– Wenn A endlich ist, a beliebig, dann ist auch A ∪ {a} endlich.

– Dieser Prozeß liefert alle endlichen Mengen.

• Motivation: Wenn A unendlich ist, Fin_{A} ⊆ 𝒫(A) die Menge aller endlichen Teilmengen von A, dann hat Fin_{A} kein maximales Element. Wenn aber A endlich ist, und ℬ ⊆ 𝒫(A) beliebig (nichtleer), dann gibt es in ℬ eine Teilmenge (oder mehrere) von A die größtmöglich (im Hinblick auf die Anzahl ihrer Elemente) ist; so eine Teilmenge ist dann maximal in ℬ. Daher Definition: Eine Menge A heißt endlich, wenn jede Menge ℬ ⊆ 𝒫(A) ein ma-

ximales Element hat d.h., ein ℬ enthält mindestens ein Element B ⊆ A welches in ℬ keine echte Obermenge hat.

• Motivation: Für jede natürliche Zahl n ist die Menge {1, …, n} endlich. Diese Mengen sind “Prototypen” für alle endlichen Mengen Daher Definition: Eine Menge A heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n und eine Bijektion f : {1, …, n} → A gibt.

To Infinity and Beyond!

Auch unendliche Mengen kann man ihrer “Größe” nach klassifizieren.

Definition: A ≈ B genau dann, wenn es eine Bijektion f : A → B gibt. A und B heißen dann “gleichmächtig”. A ≲ B genau dann, wenn es eine injektive Ab-

bildung f : A → B gibt. D.h.: Wenn A gleichmächtig mit einer Untermenge von B ist.

A < B genau dann, wenn es A ≲ B, aber nicht

B ≲ A. Achtung! Das ist nicht äquivalent zu: “wenn A gleichmächtig mit einer echten Untermenge von B ist.”

Satz: Wenn A ≲ B, und B ≲ A, dann A ≈ B.

Satz: Für alle Mengen A, B: A ≲ B ∨ B ≲ A.

Daher: Die Beziehung ≈ ist eine Äquivalenzrelation, und die Klassen dieser Relation sind linear geordnet.

Kardinalität und Kardinalzahl

Die Kardinalität einer Menge A ist die Äquivalenzklasse der Menge A bezüglich der Relation ≈. Zum Beispiel ist die Kardinalität einer Einermenge {a} die Klasse aller Einermengen.

Da es unhandlich ist, mit so großen Klassen zu rechnen, verwenden wir stattdessen “Kardinalzahlen”: Aus jeder Kardinalität wählen wir einen kanonischen Repräsentanten. ZB wählen wir aus der Klasse der Einermengen die Menge {0} als Repräsentanten aus, aus der Klasse der Zweiermengen die Menge {0, 1}. Diese Repräsentanten nennen wir dann Kardinalzahlen.

Diese Unterscheidung Bezeichung Kardinalität/Kardinalzahl ist in der Literatur nicht einheitlich.

Statt “Kardinalität (Kardinalzahl) der Menge der … ” sagen wir auch informell “Anzahl der … ”

Abzählbar, überabzählbar, … Für jede unendliche Menge A gilt ℕ ≲ A. Daher: Alle unendlichen Mengen sind entweder ≈ ℕ oder > ℕ. Wenn A ≈ ℕ ist, dann heißt A “abzählbar”; wenn ℕ < A ist, dann heißt A überabzählbar. Die Kardinalzahl von ℕ heißt ℵ_{0} (aleph-0) oder auch ℶ_{0} (beth-0). Satz von Cantor, erste Version: ℝ ≉ ℕ. Anders ausgedrückt: ℕ < ℝ, oder: ℝ ist eine überabzählbare Menge. Man kann zeigen, daß ℝ ≈ 𝒫(ℕ) ist. Daher: Satz von Cantor, zweite Version: ℕ < 𝒫(ℕ).

Satz von Cantor, dritte Version: A < 𝒫(A) gilt für alle Mengen A.

Daher gilt: Zu jeder Kardinalität gibt es eine größere. Man kann sogar folgendes zeigen:

Satz: Zu jeder Kardinalität (Kardinalzahl) gibt es einen “Nachfolger”, d.h. eine “nächstgrößere”.

Das ist trivial für endliche Kardinalitäten, aber nicht für unendliche, denn wenn A unendlich ist, a ∉ A, dann ist im allgemeinen A ≈ A ∪ {a}. Es gilt sogar A × A ≈ A.

Allgemein gilt: Wenn A unendlich ist, B nichtleer, und B ≲ A, dann: A ≈ A ∪ B ≈ A × B.

“Addition” und “Multiplikation” von unendlichen Kardinalzahlen ist also trivial. (Exponentiation nicht!)

Achtung: Nicht jede Kardinalität hat einen Vorgänger.

Paradoxa?

Wir wissen: ℝ ist eine überabzählbare Menge.

Achtung: Unter jeder sinnvollen Definition des Wortes “definierbar” gibt es nur abzählbar viele definierbare reelle Zahlen (weil es nur abzählbar viele Definitionen gibt). Daher gibt es jedenfalls auch “undefinierbare” reelle Zahlen. Das mag paradox erscheinen – wie kann man beweisen, daß es etwas gibt, dessen Existenz man nicht “explizit” beweisen kann?

Wir wissen: ℝ × ℝ ≈ ℝ. Man kann sogar eine sehr einfache injektive Abbildung von ℝ × ℝ nach ℝ angeben.

Das heißt: die Ebene enthält “genausoviele” Punkte wie die Gerade.

Iterierte Potenzmengen

ℶ_{0} ist die Kardinalität von ℕ. Ebenso ist ℶ_{0} die Anzahl

Primzahlen, der rationalen Zahlen, der algebraischen Zahlen, die Kardinalität der freien Gruppe mit 7 Erzeugenden, etc.

ℶ_{1} ist die Kardinalität von ℝ oder von 𝒫(ℕ),

oder von ℕ ∪ 𝒫(ℕ). ℶ_{1} ist auch die Anzahl der Borelmengen, der unendlichen 01-Folgen, der stetigen Funktionen von ℝ nach ℝ, die Kardinalität jedes separablen Hilbertraums^{∗} …

ℶ_{2} ist die Kardinalität von 𝒫(ℝ), von 𝒫(𝒫(ℕ)), oder von ℕ∪𝒫(ℕ)∪𝒫(𝒫(ℕ)). ℶ_{2} ist auch die Anzahl

aller Funktionen von ℝ nach ℝ, oder der Riemann-integrierbaren Funktionen, der freien Ultrafilter auf ℕ, der separablen metrischen Räume mod Isometrie, …

etc.

Und dann?

Hinter’m Horizont geht’s weiter …

ℶ_{ω} ist die Kardinalität der Menge

B := ℕ ∪ 𝒫(ℕ) ∪ 𝒫(𝒫(ℕ)) ∪ ⋯

Offensichtlich ist ℕ ≲ B, 𝒫(ℕ) ≲ B, … Daher auch ℕ < B, 𝒫(ℕ) < B, …

Es stellt sich heraus, daß ℶ_{ω} die kleinste Kardinalzahl ist, die größer als alle ℶ_{n} ist.

ℶω hat keinen Vorgänger.

Danach geht es wieder mit der Potenzmenge weiter: ℶ_{ω+1} ist die Kardinalität von 𝒫(B), etc.

Wie viele Kardinalitäten gibt es? Unendlich viele. Überabzählbar viele. Mehr als ℶ_{1}. Mehr als ℶ_{ω}….

Iterierte Nachfolger

Gibt es Kardinalitäten, die zwischen ℶ_{0} und ℶ_{1} liegen? Wenn ja, wie viele? Eine? Zwei? 2000? Abzählbar viele? ℶ_{1} viele? (Jedenfalls nicht mehr als ℶ_{1}!) Definition: ℵ_{0} = ℶ_{0} = Kardinalität von ℕ. ℵ_{1} ist der Nachfolger von ℵ_{0}, d.h., die erste überabzählbare Kardinalität/Kardinalzahl. ℵ_{1} ist

zB die Anzahl der abzählbaren Wohlordungen (modulo Isomorphie).

ℵ_{2} ist der Nachfolger von ℵ_{1}, etc. ℵ_{ω} ist die kleinste Kardinalität, die größer als alle ℵ_{n} ist. ℵ_{ω+1} ist der Nachfolger von ℵ_{ω}. etc.

Kontinuumshypothese

Die folgenden Fragen haben alle dieselbe Antwort:

1. Gibt es eine Kardinalität, die zwischen ℶ_{0} und ℶ_{1} liegt?

2. Gibt es eine Menge A ⊆ ℝ, die zwar überabzählbar ist, aber noch nicht ≈ ℝ?

3. Ist ℶ_{1} > ℵ_{1} ?

Die Kontinuumshypothese (abgekürzt: CH) sagt, daß die Antwort “nein” lautet.

Wir sehn betroffen …

CH ist nicht beweisbar. D.h., es gibt keine explizite Bijektion von einer Menge der Größe ℵ_{1} auf ℝ.

CH ist auch nicht widerlegbar. D.h., es gibt keine explizite beschreibbare Menge A ⊆ ℝ, die zwar überabzählbar aber noch < ℝ ist.

Es gibt also ganz konkrete Fragen, die (mit Hilfe der üblichen mengentheoretischen Axiome) nicht beantwortet werden können.

So wie auch etwa das Parallelenaxiom nicht mit Hilfe der anderen Axiome der Geometrie beweisbar oder widerlegbar ist.

Im Hinblick auf den Gödelschen Unvollständigkeitssatz ist das aber nicht verwunderlich: Jedes mathematische System das gewisse Minima-

lanforderungen erfüllt – entscheidbare Axiomenmenge, umfaßt die

Arithmetik ist unvollständig!