\documentclass{slides}
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\usepackage[latin1]{inputenc}


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\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\def\xx#1\par{\par\centerline{\bf #1}\par}
\def\yy#1:{\par\noindent{\bf #1:}}
 
\renewcommand{\P}{{\mathscr P}}
\newcommand{\B}{{\mathscr B}}
\newcommand{\N}{{\Bbb N}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}

\begin{document}
\begin{slide}

\xx Was ist Mengenlehre? 




$$ A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C)$$
\\[9cm]




\end{slide}

\begin{slide}
\xx Mengenlehre ist \dots 

\begin{enumerate}
\item  die {\tiny oder jedenfalls: eine} {\bf universelle Sprache}
der Mathematik
\item {\bf Hardware} der  Mathematik
\item Erforschung des {\bf Unendlichen} mit mathematischen Mitteln
\end{enumerate}



\bigskip

In der Mengenlehre betrachten wir oft {\tiny (eigentlich: immer)}
  Mengen, deren Elemente wiederum Mengen sind. 
   Wenn $A$ und $B$ Mengen
sind, dann sind auch $\{A\}$ und $\{A,B\}$ Mengen.   {\small Und meist 
 sind 
gerade solche ``Mengen von Mengen'' oder ``Mengenfamilien'' interessant.}
\end{slide}
\begin{slide}


\xx Potenzmenge



Wenn $A$ eine Menge ist, dann bezeichen wir mit $\P(A)$ die {\em
Potenzmenge} von $A$, also die Menge aller Teilmengen von $A$. 

\yy Beispiel:  Wenn $A = \{a,b,c\}$ 3 Elemente hat, dann hat 
$\P(A)  $
8 = $2^3$ viele Elemente: 
\begin{gather*}
\{a,b,c\},\\
\{b,c\},\ \{a,c\},\ \{a,b\},\\
\{a\},\ \{b\},\ \{c\},\\
\emptyset
\end{gather*}

Jede Menge (Familie) von Teilmengen von $A$ ist eine Teilmenge von
$\P(A)$. 

{\small
\yy Beispiel 1: 
 $A = $ wie oben,  Familie $\B := $ die Menge aller
Teilmengen von $A$, die eine gerade Zahl von Elementen haben: 
$$\B = \{\ \emptyset , \ \{ a,b\}, \  \{ b,c\}, \ \{ a,c\} \ \}$$
\yy Beispiel 2: 
  $A=$ ein Vektorraum, $\B = $ Familie aller linear unabhängigen 
Teilmengen von $A$. 
\yy Beispiel 3: 
Oder: $A$ eine unendliche Menge, $\B = $ Familie der endlichen Teilmengen
von $A$. 

}

\end{slide}

\begin{slide}

\xx Endlich und unendlich


Was ist ``endlich''?

\yy   Versuch einer Definition: 


\begin{itemize}
\item   Endliche Menge = Mengen, die man hinschreiben kann
\item Endliche Mengen entstehen so: 
	\begin{itemize}
	\item  Die leere Menge  $\emptyset$ ist endlich.
	\item Wenn $A$ endlich ist, $a$ beliebig, dann ist auch $A
			\cup \{a\} $ endlich.
	\item Dieser Prozeß liefert alle endlichen Mengen. 
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
\begin{itemize}
\item {\sl  Motivation:  Wenn $A$ unendlich ist, ${\rm Fin}_A \subseteq \P(A)$
die Menge aller {\em endlichen} Teilmengen von $A$, dann hat ${\rm Fin_A}$
kein
maximales Element. \\ Wenn aber $A$ endlich ist, und $\B \subseteq
\P(A)$ beliebig (nichtleer), dann gibt es in $\B$ eine
 Teilmenge  (oder mehrere) von $A$ die größtmöglich (im Hinblick auf die Anzahl 
ihrer Elemente) ist;  so eine Teilmenge ist dann maximal in $\B$.}\\
Daher {\bf Definition:} Eine Menge $A$ heißt endlich, wenn jede Menge
$	\B \subseteq \P(A)$ ein maximales Element hat {\small d.h.,
ein $\B$ enthält mindestens ein Element $B \subseteq A$ welches in $\B$
keine echte Obermenge hat.} 
\item {\sl Motivation:   Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Menge 
 $ \{1,\ldots, n\}$ endlich.   Diese Mengen sind ``Prototypen'' für
alle endlichen Mengen}\\
 Daher {\bf Definition:} Eine Menge $A$ heißt endlich, wenn es eine
natürliche Zahl $n$ und eine Bijektion $f:\{1,\ldots, n\}\to A$ gibt. 
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}

\xx To Infinity and Beyond! 

Auch unendliche Mengen kann man ihrer ``Größe'' nach klassifizieren. 

\yy Definition: $A \approx B$ genau dann, wenn es eine Bijektion $f:A
\to B$ gibt.  $A$ und $B$ heißen dann ``gleichmächtig''. \\
$A \lesssim B$ genau dann, wenn es eine injektive Abbildung  $f: A
\to B$ gibt. {\small D.h.:   Wenn $A$ gleichmächtig mit einer Untermenge 
von $B$ ist.}
\\ 
$A < B$ genau dann, wenn es  $A\lesssim B$, aber nicht $B \lesssim
A$.   {\small {\bf Achtung! }  Das ist nicht äquivalent zu: 
``wenn $A$ gleichmächtig mit einer {\em echten} Untermenge von $B$ ist.''}

\yy Satz:   Wenn $A \lesssim B$, und $B \lesssim A$, dann $A\approx
B$. \\
\yy Satz: Für alle Mengen $A,B$: $A \lesssim B  \ \vee \ B \lesssim
A$. 

Daher: 
Die Beziehung $\approx$ ist eine Äquivalenzrelation, und die Klassen
dieser Relation sind linear geordnet. 



\end{slide}

\begin{slide}
\xx Kardinalität und Kardinalzahl


Die {\em Kardinalität} einer Menge $A$ ist die Äquivalenz\-klasse der
Menge $A$ bezüglich der Relation $\approx$.   Zum Beispiel ist die
Kardinalität einer Einermenge $\{a\}$ die Klasse aller Einermengen.   

Da es unhandlich ist, mit so großen Klassen zu rechnen, verwenden wir
stattdessen ``Kardinalzahlen'':   Aus jeder Kardinalität wählen wir
einen kanonischen Repräsentanten.   ZB wählen wir aus der Klasse der
Einermengen die Menge $\{0\}$ als Repräsentanten aus, aus der Klasse
der Zweiermengen die Menge $\{0,1\}$. 
\\
Diese Repräsentanten nennen wir dann {\em Kardinalzahlen}. 


{\tiny Diese  Unterscheidung Bezeichung {\it Kardinalität/Kardinalzahl}
ist in der Literatur nicht einheitlich.}

Statt ``Kardinalität (Kardinalzahl) der Menge der \dots''
sagen wir auch informell ``Anzahl der \dots'' 


\end{slide}



\begin{slide}

\xx Abzählbar, überabzählbar, \dots 

Für jede unendliche Menge $A$ gilt $\N \lesssim A$. 

Daher:  
Alle unendlichen Mengen sind entweder $\approx \N$ oder $>\N$.



Wenn $A \approx \N$ ist, dann heißt $A$ ``abzählbar''; wenn 
$ \N < A$ ist, dann heißt $A$ überabzählbar. 


Die Kardinalzahl von $\N$ heißt  $\aleph_0$ ({\sf aleph-0}) oder auch 
$\beth_0$ ({\sf beth-0}). 


\yy Satz von Cantor, erste Version:  $\R \not\approx \N$. 

Anders ausgedrückt: $\N < \R$, oder:  $\R$ ist eine überabzählbare
Menge. 


Man kann zeigen, daß $\R \approx \P(\N)$ ist.  Daher: 

\yy Satz von Cantor, zweite Version: $\N < \P(\N)$. 

\end{slide}
\begin{slide}

\yy Satz von Cantor, dritte Version: $A < \P(A)$ gilt für alle Mengen
$A$. 


Daher gilt:   Zu jeder Kardinalität gibt es eine größere.    
Man kann sogar folgendes zeigen: 

\yy Satz:   Zu jeder Kardinalität (Kardinalzahl) gibt es
einen ``Nachfolger'', d.h.  eine ``nächstgrößere''. 


Das ist trivial für endliche Kardinalitäten, aber nicht für unendliche,
denn wenn $A$ unendlich ist, $a\notin A$, dann ist im allgemeinen 
$A \approx A \cup \{a\}$.     Es gilt sogar $A \times A \approx A$.  


Allgemein gilt:   Wenn $A$ unendlich ist,  $B $ nichtleer,  und $B 
\lesssim A$, \\
dann:   $A \approx A \cup B \approx A\times B$.  


``Addition'' und ``Multiplikation'' von unendlichen Kardinalzahlen ist
also trivial.  (Exponentiation nicht!)



\yy Achtung: Nicht jede Kardinalität hat einen Vorgänger. 


\end{slide}
\begin{slide}
\xx Paradoxa?   

 Wir wissen:    $\R$ ist eine überabzählbare Menge. 

\yy Achtung:  Unter jeder sinnvollen Definition des Wortes ``definierbar''
gibt es nur abzählbar viele definierbare reelle Zahlen (weil es nur 
abzählbar viele Definitionen gibt).    Daher gibt es jedenfalls 
auch ``undefinierbare'' reelle Zahlen.     Das mag paradox erscheinen -- wie 
kann man beweisen, daß es etwas gibt, dessen Existenz man nicht ``explizit''
beweisen kann? 

\bigskip

Wir wissen:  $ \R\times \R \approx \R$.     Man kann sogar eine sehr
einfache injektive Abbildung von $\R\times \R $ nach $\R$ angeben. 
\\[2cm]



Das heißt: 
die Ebene enthält ``genausoviele'' Punkte wie die Gerade.  

\end{slide}
\begin{slide}

\xx  Iterierte Potenzmengen

$\beth_0$ ist die Kardinalität von $\N$.    {\tiny 
Ebenso ist $\beth_0$ die  Anzahl  Primzahlen,
der rationalen Zahlen, der algebraischen 
Zahlen,
  die Kardinalität der freien Gruppe mit 7 Erzeugenden,
etc.}

$\beth_1$ ist die Kardinalität von $\R$ oder von $\P(\N)$, oder von
$\N \cup \P(\N)$.  {\tiny $\beth_1$ ist auch die Anzahl der Borelmengen, 
der unendlichen 01-Folgen, 
der stetigen  Funktionen  von $\R$ nach $\R$,  die Kardinalität
jedes separablen Hilbertraums\footnotemark \dots}

$\beth_2$ ist die Kardinalität von $\P(\R)$,  von $\P(\P(\N))$, oder 
von $\N \cup \P(\N) \cup \P(\P(\N))$.  
{\tiny $\beth_2$ ist auch die Anzahl  aller Funktionen von $\R$ nach $\R$, 
oder der  Riemann-integrierbaren 
Funktionen, der  freien Ultrafilter auf 
$\N$, der  separablen metrischen Räume mod Isometrie,
\dots}

etc. 


Und dann? 

\end{slide}

\begin{slide}

\xx Hinter'm Horizont geht's weiter \dots 


$\beth_\omega$ ist die Kardinalität der Menge 
$$ B := \  \N \cup \P(\N) \cup \P(\P(\N)) \cup \cdots $$

 
Offensichtlich ist $\N\lesssim B$, $\P(\N) \lesssim B$, \dots
\\
Daher auch $\N < B$, $\P(\N) < B$, \dots

Es stellt sich heraus, daß $\beth_\omega $ die kleinste Kardinalzahl 
ist, die größer als alle $\beth_n$ ist.   

$\beth\omega$ hat keinen Vorgänger. 


\bigskip

Danach geht es wieder mit der Potenzmenge weiter: \\
$\beth_{\omega+1}$ ist die Kardinalität von $\P(B)$, etc. 


\bigskip
Wie viele Kardinalitäten gibt es?  Unendlich viele.  Überabzählbar viele. 
Mehr als $\beth_1$.   Mehr als $\beth_\omega$. \dots

\end{slide}

\begin{slide}

\xx Iterierte Nachfolger 


Gibt es Kardinalitäten, die zwischen  $\beth_0$ und  $\beth_1$  liegen? 

Wenn ja, wie viele?   Eine?  Zwei? 2000?  Abzählbar viele?  $\beth_1$ viele? 
(Jedenfalls nicht mehr als $ \beth_1$!) 


\bigskip

\xx Definition: $\aleph_0 = \beth_0$ = Kardinalität von $\N$. 


$\aleph_1$ ist  der Nachfolger von $\aleph_0$, d.h., die erste 
überabzählbare Kardinalität/Kardinalzahl.     {\tiny
% $\aleph_1$ tritt zwar
% nicht so häufig auf wie $\beth_1$, aber doch gelegentlich.  
$\aleph_1$ ist zB die Anzahl der abzählbaren Wohlordungen
(modulo Isomorphie).}

$\aleph_2$ ist der Nachfolger von $\aleph_1$,

etc. 


$\aleph_\omega $ ist die kleinste Kardinalität, die größer als alle
$\aleph_n$ ist. 


$\aleph_{\omega+1}$ ist der Nachfolger von $\aleph_\omega$. 


etc.
\end{slide}
\begin{slide}

\xx Kontinuumshypothese

Die folgenden Fragen haben alle dieselbe Antwort:  

\begin{enumerate}
\item
Gibt es eine Kardinalität, die zwischen  $\beth_0$ und  $\beth_1$  liegt? 
\item Gibt es eine Menge $A \subseteq \R$, die zwar über\-ab\-zähl\-bar ist, 
aber noch nicht $\approx \R$? 
\item  Ist $\beth_1 > \aleph_1$ ? 
\end{enumerate}

Die {\em Kontinuumshypothese (abgekürzt: CH)} sagt, daß die Antwort ``nein''
lautet. 


\end{slide}
\begin{slide}

\xx Wir sehn betroffen \dots 

 CH ist nicht beweisbar.  D.h., es gibt keine explizite Bijektion von einer 
Menge der Größe $\aleph_1$ auf $\R$. 

CH ist auch nicht widerlegbar.  D.h., es gibt keine explizite  beschreibbare
 Menge $A \subseteq \R$, die zwar überabzählbar aber noch $<\R$ ist. 


\bigskip
\bigskip


Es gibt also ganz konkrete Fragen, die (mit Hilfe  der üblichen
mengentheoretischen Axiome)   nicht beantwortet werden können. 

{\small So wie auch etwa das Parallelenaxiom nicht  mit Hilfe der anderen 
Axiome der Geometrie beweisbar oder widerlegbar ist.}

Im Hinblick auf den Gödelschen Un\-voll\-stän\-dig\-keits\-satz
ist das aber nicht 
verwunderlich:  \\ {\bf Jedes} mathematische System {\tiny das gewisse
Minimalanforderungen erfüllt -- entscheidbare Axiomenmenge,
umfaßt die Arithmetik}  ist unvollständig! 




\end{slide}


\begin{slide}

\end{slide}








\end{document}


