Beispiel 1: Maß und Kategorie

Definition. Für jede Halbordnung (P, <) sei

b(P) := min {#A : A ⊆ P, A unbeschränkt }

Beispiel. Sei N das Ideal der Lebesgue-Null-mengen in ℝ geordnet durch Inklusion. b(N) is die Antwort auf die Frage: Wieviele Nullmengen muß man vereinigen, um eine Menge von positivem äußeren Maß zu bekommen? Offensichtlich ist ℵ_{0} < b(N) ≤ 2^{ℵ_{0}}.

Analog sei M das Ideal der mageren Mengen ( = Mengen von 1. Kategorie). b(M) ist die kleinste Anzahl von mageren (oder: nirgends dichten) Mengen, deren Vereinigung von 2. Kategorie ist.

Frage. Gibt es einen Zusammenhang zwischen b(N) und b(M)? Satz (Bartoszyński). b(N) ≤ b(M)

“Additivity of measure implies additivity of category”